En esta segunda parte de vuestro aprendizaje como espías de élite vais a conocer diversos instrumentos para localizar situaciones en un plano o mapa. Aprenderéis el sentido y el significado de las coordenadas cartesianas y muchas de sus utilidades, así como algunas propiedades geométricas muy importantes. Gracias a estos conocimientos podréis transmitir información sobre localizaciones y lugares secretos que comunicar a vuestros enlaces y compañeros de equipo. Aquí tenéis un interesante ejemplo para comenzar....



















Prestad atención, pues estos nuevos conocimientos, unidos la codificación de mensajes, serán herramientas clave para poder avanzar en vuestro aprendizaje y realizar con éxito las misiones que se os planteen....

Coordenadas_Objetivos.jpgCoordenadas_Recursos.jpgCoordenadas_Evaluación.jpg
¿Recordáis el juego de los barquitos o de HUNDIR LA FLOTA? Es un divertido juego por parejas que consiste en hundir la flota enemiga a partir de las coordenadas. Si queréis conocer modalidades aún más difíciles y divertidas, podéis buscarlas en la sección de Recursos. Pues bien, ese juego es un buen preámbulo para el estudio de las coordenadas cartesianas de un punto en el plano, ya que la posición de cada barco queda exactamente señalada gracias a los valores que otorgamos a su fila o a su columna.

hundir_la_flota.jpg

Un sistema parecido utilizan también los buenos ajedrecistas para expresar sus movimientos por el tablero, asignando letras y números a un lado y otro del tablero respectivamente. Y como éstos, existen otros interesantes juegos en la red en los que se necesita conocer el sistema de coordenadas cartesianas para poder jugar. Por ejemplo, en el juego GAME OVER GOPHER, tenemos que intentar parar a unas ardillas antes de que se coman una zanahoria gigante, pero para ello es necesario, antes y durante cada nivel, ir situando unas máquinas lanza-comida en puntos estratégicos que vienen dados por coordenadas. ¡¡ De nuevo las matemáticas !! Si queréis, podéis probarlo gratis pinchando en la siguiente imagen:
juego_zanahoria.png

COORDENADAS CARTESIANAS EN EL PLANO


El sistema de coordenadas Cartesianas fue desarrollado por el matemático René Descartes durante una enfermedad. Estando en la cama, vio una mosca que estaba volando en el techo, el cuál estaba hecho de baldosas cuadradas. De pronto se dio cuenta de que podía describir la posición de la mosca por la baldosa en que ésta se encontrara. Más tarde, en el siglo XVII, él mismo desarrolló el sistema de coordenadas cartesianas para poder visualizar funciones, mediante la graficación de los valores de una función como pares ordenados.
El funcionamiento del plano cartesiano y las coordenadas de un punto se exponen fácilmente en el siguiente ejemplo:

Coordenadas_cartesianas.jpg

En este sistema se dibujan dos rectas perpendiculares (una horizontal y otra vertical), se marca un centro u “origen” en el cruce de ambas, y se determinan unas escalas horizontales y verticales en cada eje. Posteriormente, podemos crear una cuadrícula de líneas horizontales y verticales paralelas a los ejes y uniformemente distribuidas para localizar cada punto. Veamos un ejemplo:

ejemplo_coordenadas.jpg

Observad que las escalas horizontales y verticales son diferentes, pero cada una está dividida en partes iguales. Además, el punto está identificado con sus coordenadas cartesianas, que representan el movimiento horizontal y vertical desde el origen, en ese orden exactamente. Esta es la convención matemática para denominar los puntos. En el siguiente ejemplo se os enseña cómo situar puntos en el plano utilizando sus coordenadas:

Coordenadas_cartesianas_2.jpg
Otro nombre para el valor del movimiento horizontal es la abscisa, y para el vertical la Ordenada, aunque estos términos no son muy usados en la actualidad.
Intentad realizar correctamente los siguientes ejercicios para comprobar si sabéis asignar coordenadas a un punto en el plano y situar cualquier punto dadas sus coordenadas:
Juego_coordenadas.jpg Coordenadas_cartesianasANAYA.jpg
Para afianzar estos conceptos relacionados con las coordenadas de un punto y la relación existente entre las variables x e y, debéis realizar, en el cuaderno correspondiente, los Ejercicios_Coordenadas_Funciones de la sección de Recursos.
Como habréis podido observar, al dar las coordenadas de un punto, es también muy usual utilizar lo que se denomina una Tabla de valores, en la que se desglosan las coordenadas de los puntos que vamos a situar en el sistema:
Tabla_coordenadas.jpg

FUNCIONES LINEALES


En el ejercicio anterior, además, hemos comprobado cómo existe también la posibilidad de asociar puntos dentro del plano ligando a las variables mediante una igualdad donde aparecen operaciones entre ellas. Este es el concepto de función. Decimos que una de las variables está en función de la otra, por lo que, para cualquier valor de una de las variables, obtenemos un único valor para la otra. En este caso, a la variable y se le llama variable dependiente y a la x variable independiente, ya que su valor se fija previamente. A la representación de esos puntos se le llama gráfica de la función, aunque en muchos casos tiene también sentido unir los puntos mediante líneas.
En particular, en el ejercicio anterior hemos utilizado un tipo de funciones denominadas funciones lineales. Se llaman así porque al unir los puntos se obtiene una línea recta que pasa por todos ellos. Cuando en la expresión que vincula ambas variables aparezcan la x y la y con exponente unidad, el resultado siempre va a ser una recta:

Tabla_lineal_grafica.jpgTabla_lineal.jpg

Para poner en práctica estos conocimientos y llevar a cabo la siguiente misión, vamos a utilizar el programa Geogebra. En este fabuloso programa, podemos trabajar desde una vista gráfica o geométrica a la vez que visualizamos, en una vista algebraica, las coordenadas de los puntos o las expresiones algebraicas de las funciones con las que trabajamos. Existe un manual elaborado con bastante detalle en esta misma Wiki en el siguiente enlace. Para llevar a cabo esta sección del Proyecto es importante que miréis con detalle y practiquéis aspectos relacionados con:
  • Vista gráfica: ejes y cuadrícula.
  • Puntos y coordenadas.
  • Rectas y ecuaciones lineales.
  • Línea Poligonal.
  • Insertar y fijar imágenes.

Bien, una vez analizados estos aspectos en clase, vamos a practicar con una pequeña misión. A continuación deberéis descargar el archivo de Geogebra incluido en la sección de Recursos con el nombre Europa_política.ggb. En este archivo aparecerá un mapa político de Europa sobre el que vamos a trabajar en las próximas misiones.
Europa_politico_lineal.jpg

Misión 1: Coordenadas Secretas

Una forma muy interesante de especificar trayectorias en un mapa es utilizar funciones lineales que nos permitan llegar desde un lugar hasta otro del plano e ir delimitando los lugares por los que vamos pasando.
En el archivo de Geogebra Europa_política, vamos a iniciar un recorrido a través de líneas rectas que nos dirijan a los diferentes puntos del mapa a los que debemos viajar. Para encontrar esos puntos donde cambia el recorrido, bastará con encontrar el punto de corte de la función lineal en la que nos encontramos con la siguiente, anotar ciudad y coordenadas, las rectas que se cortan en ella, y continuar nuestro trayecto...
Observa el ejemplo:
  • Comenzamos el viaje en Bucarest a través de la recta - 4x - 5y = - 6 hasta llegar al cruce con la recta x = - 1. El punto de corte es el B (-1,2) y corresponde a la ciudad de Hamburgo.
  • El siguiente corte será x = - 1 con la recta x + y = 4. El punto de corte tiene de coordenadas C (-1,5) y corresponde a la ciudad de Oslo.
Así sucesivamente continuaremos hasta el final del recorrido, anotando los pasos en nuestro cuaderno. Finalmente, remarcad el camino con la herramienta poligonal y resaltad el camino de color rojo.
A continuación vamos a intentar dar respuesta a la última pregunta de nuestra actividad anterior: ¿cómo es posible conocer las coordenadas del punto de corte de dos rectas sin representarlas gráficamente? En matemáticas, este problema se denomina resolución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Para resolver este tipo de situaciones de forma algebraica existen tres métodos denominados de sustitución, reducción e igualación. En la sección de Recursos tenéis un esquema de resumen y unos apuntes muy completos con ejemplos y ejercicios resueltos para comprender cada uno de estos métodos de resolución y cuál es el más apropiado a cada situación. Veremos en clase estos métodos con diferentes ejemplos y posteriormente realizaremos en grupo la siguiente misión en el cuaderno Ecuaciones lineales y sistemas.

LUGARES GEOMÉTRICOS


Otra forma de expresar lugares sin necesidad de establecer coordenadas es mediante el uso de la geometría. Existen determinadas localizaciones del plano que pueden determinarse gracias a sus propiedades geométricas, y cuya construcción depende, únicamente, del uso de rectas, puntos, ángulos y circunferencias o arcos. En esta sección vamos a conocer los siguientes: mediatriz de un segmento, bisectriz de un ángulo, circunferencia y puntos y rectas notables del triángulo. Cada uno de ellos se genera a partir de unas determinadas propiedades según su definición. En primer lugar vais a realizar un trabajo entre todo el equipo en el que investigaréis qué es cada uno de estos lugares geométricos, cuáles son sus propiedades y cómo se construyen. Aprenderéis también a realizarlos en Geogebra. Este trabajo se incluirá en la sección Lugares geométricos del cuaderno de equipo junto con el archivo rar donde se incluyan sus construcciones. Una vez conocidos estos lugares geométricos y sus propiedades, podremos llevar a cabo la siguiente misión. Para ello, descargaréis de nuevo el archivo Europa_política.ggb al que eliminaréis los ejes y la cuadrícula.
europa_GEO_2.jpg

Misión 2: Ciudades escondidas

Vamos a realizar una ruta secreta por Europa. Para ello, debéis seguir las pistas indicadas en vuestro cuaderno Ciudades escondidas e ir trazando los lugares geométricos necesarios comprobando las pistas indicadas sobre la ciudad.
Observa el ejemplo:
  • En una de las pistas se nos cuenta que la siguiente ciudad está a la misma distancia de Madrid, Brno y Córcega. El único lugar geométrico que está a la misma distancia de tres puntos dados es el circuncentro. Basta formar un triángulo con los tres vértices y hallar dicho punto. La ciudad buscada es Mónaco.
Así sucesivamente continuaremos hasta el final del recorrido, anotando los lugares geométricos utilizados en nuestro cuaderno y especificando de qué ciudad se trata. Deberán aparecer además las construcciones realizadas con Geogebra.

COORDENADAS GEOGRÁFICAS TERRESTRES


Las coordenadas geográficas se obtienen a partir de un conjunto de líneas imaginarias que permiten ubicar con exactitud un lugar en la superficie de la Tierra. Estas líneas o círculos son trazados por los cartógrafos sobre los mapas, y permiten ubicar cualquier punto de nuestro planeta a la perfección. Para conocer mejor el funcionamiento de las coordenadas terrestres vamos a recordar previamente algunos conceptos:

Paralelos y Latitud


Los paralelos son líneas circulares imaginarias que se trazan perpendicularmente al eje polar o eje de la tierra. El más importante es la Línea del Ecuador, que se encuentra ubicada a igual distancia de los polos y es el Círculo máximo que divide a la Tierra en dos Hemisferios: Hemisferio Norte (ártico, boreal o septentrional)
y Hemisferio Sur (antártico, austral o meridional), y todos los paralelos se trazan a la misma distancia con respecto al Ecuador.
Existen cuatro paralelos que reciben denominaciones especiales y que están relacionados con los movimientos de la Tierra en el espacio:

En el hemisferio Norte: Trópico de Cáncer y Círculo Polar Ártico.
En el hemisferio Sur: Trópico de Capricornio y Círculo Polar Antártico.
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Si tomamos como referencia el Ecuador, los paralelos son trazados a intervalos de 10º, habiendo 90 paralelos alcanzando los 90ºN en el Polo Norte y 90ºS en el Polo Sur, por lo tanto hay 180º. A estas distancias, medidas en grados, que hay entre cualquier paralelo y el Ecuador se le llama latitud.
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Meridianos y Longitud


En forma perpendicular al Ecuador se pueden trazar infinitos círculos imaginarios que rodean la Tierra pasando por los polos y cuyo diámetro coincide con el eje polar. Estos círculos están formados por dos semicírculos denominados respectivamente meridianos y antimeridianos, los cuales dividen la Tierra en dos hemisferios.
Se ha determinado como Meridiano de origen a aquel que pasa por el observatorio Astronómico de Greenwich, en Inglaterra. El Meridiano de Greenwich divide a la Tierra en dos Hemisferios: Hemisferio Oeste u Occidental y Hemisferio Este u Oriental.
A partir del Meridiano 0º, se cuentan 180 meridianos hacia el oeste, los que corresponden al Hemisferio Occidental y 180 meridianos hacia el este, correspondientes al Hemisferio Oriental, lo cual hace un total de 360 meridianos.
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La longitud es la distancia en grados, entre cualquier meridiano y el Meridiano de Greenwich, punto universal de referencia. En nuestra esfera terrestre, los meridianos se han trazado a intervalos de 10º.
La longitud se mide exclusivamente hacia el Este o hacia el Oeste.
Como hay 180 meridianos en cada hemisferio, la mayor longitud que se puede medir en cada uno es de 180º, tanto en dirección este como en dirección oeste.

A continuación podéis ver una interesante presentación sobre la esfera terrestre y la importancia de los meridianos y paralelos:


Y en los siguientes enlaces tienes unos cuantos ejercicios para afianzar tus conocimientos al respecto:
http://www.claseshistoria.com/bilingue/1eso/exercices/coordenadas-esp.htm
http://www.claseshistoria.com/bilingue/1eso/exercices/paralelos-huecos-esp.htm
http://www.claseshistoria.com/bilingue/1eso/exercices/meridianos-huecos-esp.htm
http://www.claseshistoria.com/bilingue/1eso/exercices/longitud-latitud-esp.htm

Coordenadas geográficas


Según todo lo anterior, cualquier punto ubicado en la superficie de nuestro planeta se encuentra en el cruce de un paralelo (latitud) y un meridiano (longitud). Si se indica la latitud y la longitud de un lugar, se puede obtener su localización exacta.

El Sistema de Coordenadas Geográficas determina todas las posiciones de la superficie terrestre utilizando las coordenadas angulares de un sistema de coordenadas esféricas que está alineado con el eje de rotación de la tierra. Este define dos ángulos medidos desde el centro de la tierra que son la latitud y la longitud. Realmente es algo parecido a "cubrir" la esfera terrestre con un sistema de coordenadas parecido al sistema cartesiano que estudiamos para el plano.

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Observa la imagen anterior y las coordenadas de cada punto que se adjunta a continuación:

PUNTO
Longitud
Latitud
A
120ºO
60ºN
B
80ºE
60ºN
C
60ºO
0ºN
D
30ºE
10ºS

Observa que también pueden tomarse coordenadas positivas y negativas como hacíamos con el sistema de coordenadas cartesianas y expresar las coordenadas de cada punto en la esfera terrestre de la siguiente forma:
PUNTO
Longitud
Latitud
A
-120º
60º
B
80º
60º
C
-60º

D
30º
-10º
A continuación, pinchando en la imagen inferior, vamos a colocar las coordenadas de diversas ciudades del planeta. Utiliza el cuaderno Coordenadas geográficas de la sección de Recursos para completar también las coordenadas y expresarlas mediante coordenadas cartesianas, con signos positivos y negativos.
Ejercicio_coordterrestres.jpg
Actualmente existen muchas páginas en Internet que nos permiten saber las coordenadas de cualquier lugar concreto fácilmente (de tu casa, de tu oficina o de donde estés). En realidad es muy sencillo, pero mucha gente piensa que si no tienes un receptor GPS es muy difícil saber cuáles son las coordenadas del punto del planeta en que estás. El truco es usar alguno de los servicios de mapas gratuitos que hay en la Red. Basta localizar nuestra situación buscando en el mapa, localizar las coordenadas y listo. El más famoso de estos sistemas es tal vez Google Maps que tiene muy buena cobertura de España. La explicación sencilla sobre cómo hacerlo sería esta:

Cómo localizar unas coordenadas con Google Maps:
  1. Ir a la página web maps.google.com.
  2. Escribir el nombre de la ciudad, por ejemplo Madrid, Spain. Si no sale nada hay que hacer clic en el botón Satellite para activar las fotos.
  3. Buscar el lugar del que quieres averiguar las coordenadas. Se utiliza el ratón para arrastrar la imagen y la barra de zoom de la izquierda para acercar y alejar.
  4. Hay que centrar bien la imagen para que la ubicación quede justo en el centro, poniendo el zoom (+) al máximo.
  5. Una vez hecho esto, en la parte superior (URL) aparecen las coordenadas. Los valores que hay a continuación de ll son las cordenadas, por ejemplo si estás en la Puerta de Alcalá de Madrid aparecería esta URL:
    http://maps.google.com/maps?q=madrid,+spain&ll=40.420088,-3.688810&spn=0.005245,0.010620&t=h&hl=en

En este ejemplo los valores son: Latitud 40.420088º, Longitud -3.688810º, expresados en grados de forma decimal (no como grados, minutos y segundos).

Ahora bien, ¿cómo podemos pasar de estas coordenadas a coordenadas geográficas sexagesimales? El proceso se describe a continuación:
  1. La parte entera de los grados en decimal es el número de grados en sexagesimal.
  2. Multiplicamos la parte decimal por 60, ya que un grado contiene 60 minutos. La parte entera del número que salga serán los minutos.
  3. Del resultado decimal que obtengamos en el paso anterior, multiplicamos por 60 la parte decimal, ya que un minuto contiene también 60 segundos. Luego el resultado entero redondeado serán los segundos.
  4. Por último hemos de tener en cuenta que un signo negativo en la coordenada decimal de latitud significa que es SUR, y en la coordenada decimal de longitud significa que es OESTE.

Observa el ejemplo anterior para dar las coordenadas de la Puerta de Alcalá en coordenadas geográficas sexagesimales:
Latitud: 40,420088
Longitud: -3,688810
40º

0,420088 x 60 = 25,20528
0,688810 x 60 = 41,3286
0,20528 x 60 = 12,3168
0,3286 x 60 = 19,716
El resultado será:

Latitud: 40º25'12'' N.
Longitud: 3º41'20''O.

A la inversa también funciona, claro. Si tienes unas coordenadas y quieres ver el mapa, las tecleas en Google Maps como 40.420088, -3.688810 y ya está. (Positivo para Norte y Este, negativo para Sur y Oeste)